Exercice 11, § 3

Soient $n\in \mathbf{N}$ et U un ouvert de $\mathbf{R}^n$. Soient $k\in \mathbf{N}$ et $p\in [1,+\infty [$. On note $H^{k,p}(U)$ l’adhérence de $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ dans $W^{k,p}(U)$.

Pour $x\in U$, soit $\delta (x)$ la distance de $x$ à la frontière de U dans $\mathbf{R}^n$; soit $U_{-1}= U_0=\emptyset$ et

pour tout entier $k\geqslant 1$. Posons $V_k= U_{k+1}\cap (\mathbf{R}^n-\overline{U}_{k-1})$ pour $k\geqslant 1$. Les ouverts $V_k$ recouvrent U ; soit $(\psi_k)_{k\geqslant 1}$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(V_k)_{k\geqslant 1}$ formée de fonctions dans $\mathscr{D}(U)$.

a) Pour $k\geqslant 1$, la fonction

Supp($\psi_j$)$\subset V_k$

appartient à $\mathscr{D}(U)$ et a support contenu dans $V_k$; on a

sur U.

b) Soient $f\in W^{k,p}(U)$ et $\varepsilon >0$. Soient $\varphi$ et $\varphi_{\varepsilon}$ pour $\varepsilon >0$ des fonctions comme dans l’exercice 10. Pour tout $k\geqslant 1$, il existe $\varepsilon_k>0$ tel que

c) La fonction

appartient à $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ et $\|f-f_{\varepsilon}\|_{k,p}< \varepsilon$.

d) L’espace $H^{k,p}(U)$ est égal à $W^{k,p}(U)$.

e) L’espace $H^{k,p}(U)$ s’identifie à la complétion de l’espace $\mathscr{C}^k(U)$ pour la norme $f\mapsto \|f\|_{k,p}$.

f ) Soit V un ouvert de $\mathbf{R}^n$ et soit $\varphi : U\rightarrow V$ un difféomorphisme de classe $C^k$. On suppose que les dérivées partielles d’ordre $\leqslant k$ de $\varphi$ (resp. de $\varphi^{-1}$) sont bornées et uniformément continues sur U (resp. sur V). L’application $f\mapsto f\circ \varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de $W^{k,p}(V)$ sur $W^{k,p}(U)$. (Utiliser le résultat de la question précédente.)