Bài tập 11, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho U là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Cho $k\in \mathbf{N}$ và $p\in [1,+\infty [$. Ta ký hiệu $H^{k,p}(U)$ là bao đóng của $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ trong $W^{k,p}(U)$.

Với $x\in U$, cho $\delta (x)$ là khoảng cách từ $x$ đến biên của U trong $\mathbf{R}^n$; cho $U_{-1}= U_0=\emptyset$ và

với mọi số nguyên $k\geqslant 1$. Đặt $V_k= U_{k+1}\cap (\mathbf{R}^n-\overline{U}_{k-1})$ với $k\geqslant 1$. Các tập mở $V_k$ phủ U; cho $(\psi_k)_{k\geqslant 1}$ là một phân hoạch của đơn vị phụ thuộc vào phủ $(V_k)_{k\geqslant 1}$ gồm các hàm thuộc $\mathscr{D}(U)$.

a) Với $k\geqslant 1$, hàm

Supp($\psi_j$)$\subset V_k$

thuộc $\mathscr{D}(U)$ và có giá được chứa trong $V_k$; ta có

trên U.

b) Cho $f\in W^{k,p}(U)$ và $\varepsilon >0$. Cho $\varphi$ và $\varphi_{\varepsilon}$ với $\varepsilon >0$ là các hàm như trong bài tập 10. Với mọi $k\geqslant 1$, tồn tại $\varepsilon_k>0$ sao cho

c) Hàm

thuộc $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ và $\|f-f_{\varepsilon}\|_{k,p}< \varepsilon$.

d) Không gian $H^{k,p}(U)$ bằng $W^{k,p}(U)$.

e) Không gian $H^{k,p}(U)$ được đồng nhất với phần bù của không gian $\mathscr{C}^k(U)$ đối với chuẩn $f\mapsto \|f\|_{k,p}$.

f ) Cho V là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$ và cho $\varphi : U\rightarrow V$ là một vi phôi thuộc lớp $C^k$. Giả sử rằng các đạo hàm riêng cấp $\leqslant k$ của $\varphi$ (tương ứng của $\varphi^{-1}$) bị chặn và liên tục đều trên U (tương ứng trên V). Ánh xạ $f\mapsto f\circ \varphi$ là một đẳng cấu của các không gian vectơ tôpô $W^{k,p}(V)$ lên $W^{k,p}(U)$. (Dùng kết quả của câu hỏi trước.)