Exercice 12, § 3

a) Pour tous entiers $n\in \mathbf{N}$ et $k\in \mathbf{N}$, et pour tout nombre réel $p\geqslant 1$, on a $W^{k,p}(\mathbf{R}^n) = W^{k,p}_0(\mathbf{R}^n)$.

b) Soit $p\geqslant 1$ un nombre réel. Soit $U\subset \mathbf{R}^2$ l’ensemble des $(x, y)\in \mathbf{R}^2$ tels que $0<|x|<1$ et $0< y <1$. La fonction caractéristique $\varphi$ de $U\cap (\mathbf{R}^*_+\times \mathbf{R})$ appartient à $W^{1,p}(U)$; si $\varepsilon >0$ est suffisamment petit, il n’existe pas de fonction $f$ de classe $C^1$ au voisinage de $\overline{U}$ telle que $\|f-\varphi \|_{1,p}< \varepsilon$.