Bài tập 12, § 3

a) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$ và $k\in \mathbf{N}$, và với mọi số thực $p\geqslant 1$, ta có $W^{k,p}(\mathbf{R}^n) = W^{k,p}_0(\mathbf{R}^n)$.

b) Cho $p\geqslant 1$ là một số thực. Cho $U\subset \mathbf{R}^2$ là tập hợp các $(x, y)\in \mathbf{R}^2$ sao cho $0<|x|<1$ và $0< y <1$. Hàm đặc trưng $\varphi$ của $U\cap (\mathbf{R}^*_+\times \mathbf{R})$ thuộc $W^{1,p}(U)$; nếu $\varepsilon >0$ đủ nhỏ, thì không tồn tại một hàm $f$ thuộc lớp $C^1$ trong một lân cận của $\overline{U}$ sao cho $\|f-\varphi \|_{1,p}< \varepsilon$.