Exercice 13, § 3

Soient U un ouvert de $\mathbf{R}^n$ et $j: U\rightarrow \mathbf{R}^n$ l’inclusion canonique. Pour toute fonction $f: U\rightarrow \mathbf{C}$, on note $j_!f$ l’extension par zéro de $f$ à $\mathbf{R}^n$, c’està-dire la fonction de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ qui coïncide avec $f$ dans U et est nulle en dehors de U.

Soient $k\geqslant 0$ un entier et $p\geqslant 1$ un nombre réel.

a) Soit $f\in W^{k,p}(U)$. Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant k$, on a $\partial^{\alpha}(j_!f) =$ $j_!(\partial^{\alpha}(f))$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

b) L’application $f\mapsto j_!f$ induit par passage aux sous-espaces une application linéaire isométrique de $W^{k,p}_0$ (U) dans $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$.