Bài tập 13, § 3

Cho $U$ là một tập hợp mở của $\mathbf{R}^n$ và $j: U\rightarrow \mathbf{R}^n$ là bao hàm chính tắc. Với mọi hàm $f: U\rightarrow \mathbf{C}$, ký hiệu $j_!f$ là mở rộng của $f$ bởi không lên $\mathbf{R}^n$, nghĩa là hàm từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$ trùng với $f$ trên U và bằng không ở ngoài U.

Cho $k\geqslant 0$ là một số nguyên và $p\geqslant 1$ là một số thực.

a) Cho $f\in W^{k,p}(U)$. Với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $|\alpha |\leqslant k$, ta có $\partial^{\alpha}(j_!f) =$ $j_!(\partial^{\alpha}(f))$ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

b) Ánh xạ $f\mapsto j_!f$ cảm sinh, bằng cách chuyển qua các không gian con, một ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ $W^{k,p}_0$ (U) vào $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$.