Exercice 14, § 3

Soient U un ouvert de $\mathbf{R}^n$ et $k\geqslant 1$ un entier. Soit $p\geqslant 1$ un nombre réel. On suppose que le complémentaire $\mathbf{R}^n-$ U n’est pas négligeable pour la mesure de Lebesgue. Notons $j$ l’inclusion canonique de U dans $\mathbf{R}^n$.

a) Il existe un rectangle ouvert relativement compact B dans $\mathbf{R}^n$ tel que $B\cap U$ et $B\cap (\mathbf{R}^n-$ U) ne sont pas négligeables.

b) Soit $\widetilde{f}\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ qui vaut 1 dans $B\cap U$. Soit $f$ la restriction de $\widetilde{f}$ à U. Alors $f$ n’appartient pas à $W^{k,p}_0$ (U). (Dans le cas contraire, l’extension par zéro $j_!f$ appartiendrait à $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$; la restriction à B de $j_!f$ serait une distribution telle que $\partial_i(j_!f) = 0$ pour $1\leqslant i\leqslant n$, donc serait la distribution associée à une constante.)