Bài tập 14, § 3

Cho U là một tập mở của $\mathbf{R}^n$ và $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Cho $p\geqslant 1$ là một số thực. Giả sử rằng phần bù $\mathbf{R}^n-$ U không là không đáng kể đối với độ đo Lebesgue. Ký hiệu j là phép nhúng chính tắc của U vào $\mathbf{R}^n$.

a) Tồn tại một hình chữ nhật mở tương đối compact B trong $\mathbf{R}^n$ sao cho $B\cap U$ và $B\cap (\mathbf{R}^n-$ U) không là không đáng kể.

b) Cho $\widetilde{f}\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ bằng 1 trên $B\cap U$. Cho $f$ là hạn chế của $\widetilde{f}$ vào U. Khi đó $f$ không thuộc $W^{k,p}_0$ (U). (Trong trường hợp ngược lại, mở rộng bằng không $j_!f$ sẽ thuộc $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$; hạn chế của $j_!f$ vào B sẽ là một phân bố sao cho $\partial_i(j_!f) = 0$ với $1\leqslant i\leqslant n$, và do đó sẽ là phân bố liên kết với một hằng.)