Exercice 15, § 3

Soient $n\geqslant 1$ un entier et $p$ un nombre réel tel que $1\leqslant p < n$. a) Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0< \alpha < n/p-1$. Soit $g$ une fonction sur $\mathbf{R}_+^*$, indéfiniment différentiable, positive, telle que $g(x) =x^{-\alpha}$ pour $x$ suffisamment petit et $g(x) = 0$ pour $x$ suffisamment grand ; la fonction de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ telle que $x\mapsto g(\|x\|)$ appartient à $W^{1,p}(\mathbf{R}^n)$.

b) Soit $i\mapsto q_i$ une bijection de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{Q}^n$ et soit $f$ l’application de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ définie par

pour $x\in \mathbf{R}^n$. La série définissant $f$ converge dans $W^{1,p}(\mathbf{R}^n)$; pour tout ouvert U de $\mathbf{R}^n$, la restriction de $f$ à U n’est pas presque partout différentiable. c) Il existe une fonction $f\in W^{1,n}(\mathbf{R}^n)$ qui n’est continue en aucun point. (Méthode similaire avec la fonction $x\mapsto$ log($|$log($|x|$)$|$)$.$)