Bài tập 15, § 3

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên và $p$ là một số thực sao cho $1\leqslant p < n$. a) Cho $\alpha$ là một số thực sao cho $0< \alpha < n/p-1$. Cho $g$ là một hàm trên $\mathbf{R}_+^*$, khả vi vô hạn lần, dương, sao cho $g(x) =x^{-\alpha}$ với $x$ đủ nhỏ và $g(x) = 0$ với $x$ đủ lớn; hàm từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$ sao cho $x\mapsto g(\|x\|)$ thuộc $W^{1,p}(\mathbf{R}^n)$.

b) Cho $i\mapsto q_i$ là một song ánh của $\mathbf{N}$ lên $\mathbf{Q}^n$ và cho $f$ là ánh xạ từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi

với $x\in \mathbf{R}^n$. Chuỗi xác định $f$ hội tụ trong $W^{1,p}(\mathbf{R}^n)$; với mọi tập mở U của $\mathbf{R}^n$, hạn chế của $f$ vào U không khả vi hầu khắp nơi. c) Tồn tại một hàm $f\in W^{1,n}(\mathbf{R}^n)$ không liên tục tại bất kỳ điểm nào. (Phương pháp tương tự với hàm $x\mapsto$ log($|$log($|x|$)$|$)$.$)