Exercice 16, § 3

Soient $n\geqslant 1$ et $k\geqslant 1$ des entiers. Soit $p\geqslant 1$ un nombre réel. Soit U un ouvert borné de $\mathbf{R}^n$.

a) On suppose que $n\not =kp$. Soit $q$ un nombre réel tel que $1\leqslant q\leqslant np/(n-kp)$. L’inclusion de $\mathscr{D}(U)$ dans $L^q(U)$ admet une extension continue $i$ de $W^{k,p}_0$ (U) dans $L^q(U)$.

b) On suppose que $1\leqslant q\leqslant np/(n-kp)$. L’application linéaire $i$ est compacte (« théorème de Rellich–Kondrachov »).

c) On suppose que $k\geqslant 1$ et que $q=np/(n-p)$. L’application linéaire $i$ n’est pas compacte.