Bài tập 16, § 3

Cho $n\geqslant 1$ và $k\geqslant 1$ là các số nguyên. Cho $p\geqslant 1$ là một số thực. Cho U là một tập mở bị chặn của $\mathbf{R}^n$.

a) Giả sử rằng $n\not =kp$. Cho $q$ là một số thực sao cho $1\leqslant q\leqslant np/(n-kp)$. Phép nhúng của $\mathscr{D}(U)$ vào $L^q(U)$ có một mở rộng liên tục $i$ của $W^{k,p}_0$ (U) vào $L^q(U)$.

b) Giả sử rằng $1\leqslant q\leqslant np/(n-kp)$. Ánh xạ tuyến tính $i$ là compact ("định lý Rellich-Kondrachov").

c) Giả sử rằng $k\geqslant 1$ và rằng $q=np/(n-p)$. Ánh xạ tuyến tính $i$ không compact.