Exercice 17, § 3

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On note $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$.

a) Une partie bornée B de $L^2(\mathbf{R}^n, \mu)$ est compacte si, et seulement si, pour tout $\varepsilon >0$, il existe une partie compacte K de $\mathbf{R}^n$ telle que

$\mathbf{R}^n-$K $\mathbf{R}^n-$K

pour tout $f\in B$.

b) Soit $k\in \mathbf{N}$. Soit K une partie compacte de $\mathbf{R}^n$. On note $H^2_k(K)$ le sous-espace fermé de l’espace de Sobolev $H^2_k(\mathbf{R}^n)$ constitué des fonctions nulles en dehors du compact K. L’injection canonique $H^2_k(K)\rightarrow H^2_k(\mathbf{R}^n)$ est compacte.