Bài tập 17, § 3

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Gọi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$.

a) Một tập con bị chặn B của $L^2(\mathbf{R}^n, \mu)$ là compact khi và chỉ khi, với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại một tập con compact K của $\mathbf{R}^n$ sao cho

$\mathbf{R}^n-$K $\mathbf{R}^n-$K

với mọi $f\in B$.

b) Cho $k\in \mathbf{N}$. Cho K là một tập con compact của $\mathbf{R}^n$. Ký hiệu $H^2_k(K)$ là không gian con đóng của không gian Sobolev $H^2_k(\mathbf{R}^n)$ gồm các hàm triệt tiêu bên ngoài tập con compact K. Đơn ánh chính tắc $H^2_k(K)\rightarrow H^2_k(\mathbf{R}^n)$ là compact.