Exercice 18, § 3

Soient $n\in \mathbf{N}$ et U un ouvert de $\mathbf{R}^n$. Le but de cet exercice est de démontrer que $\mathscr{D}'(U)$ est un espace bornologique.

Si K est une partie compacte de U, on munit $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$ de la topologie de la convergence bornée. On note $\pi_K:\mathscr{D}'(U)\rightarrow \mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$ l’application linéaire qui associe à une distribution sa restriction à $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)$; elle est continue.

Soit $S\subset \mathscr{D}'(U)$ une partie convexe équilibrée bornivore.

a) Il existe une partie compacte K de U telle que Ker($\pi_K$)$\subset S$. (Dans le cas contraire, considérer une suite croissante $(K_m)_{m\in\mathbf{N}}$ de parties compactes de U dont les intérieurs recouvrent U et choisir $f_m$ dans Ker($\pi_{K_m}$)- S ; alors l’ensemble des éléments $mf_m$ pour $m\in \mathbf{N}$ est une partie bornée non absorbée par S.)

b) L’ensemble T des distributions $f\in \mathscr{D}'(U)$ tels que $f+$ Ker($\pi_K$)$\subset S$ est une partie convexe équilibrée bornivore.

c) L’ensemble $\pi_K(T)$ est une partie convexe équilibrée bornivore de $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$. (Soit A une partie bornée de $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$; montrer qu’il existe un voisinage W de 0 dans $\mathscr{D}(U)$ tel que $A\subset (W\cap \mathscr{C}_K^{\infty}(U))^{\circ}$ et en déduire que A est contenu dans $\pi_K(W^{\circ})$, donc est absorbée par $\pi_K(T).$)

d) En déduire que S est un voisinage de 0, et conclure que l’espace $\mathscr{D}'(U)$ est bornologique. (Noter que $\pi_K(T)$ est un voisinage de 0, et observer que S contient $\pi^{-1}_K(\pi_K(T)).$)