Bài tập 18, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và U là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Mục đích của bài tập này là chứng minh rằng $\mathscr{D}'(U)$ là một không gian bornological.

Nếu K là một tập con compact của U, ta trang bị cho $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$ tôpô của sự hội tụ bị chặn. Ký hiệu $\pi_K:\mathscr{D}'(U)\rightarrow \mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$ là ánh xạ tuyến tính gán cho một phân phối hạn chế của nó lên $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)$; nó liên tục.

Cho $S\subset \mathscr{D}'(U)$ là một tập con lồi cân bằng hút mọi tập bị chặn.

a) Tồn tại một tập con compact K của U sao cho Ker($\pi_K$)$\subset S$. (Nếu không, xét một dãy tăng $(K_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các tập con compact của U mà các phần trong của chúng phủ U và chọn $f_m$ trong Ker($\pi_{K_m}$)- S; khi đó tập hợp các phần tử $mf_m$ với $m\in \mathbf{N}$ là một tập con bị chặn không bị S hút.)

b) Tập T các phân phối $f\in \mathscr{D}'(U)$ sao cho $f+$ Ker($\pi_K$)$\subset S$ là một tập con lồi cân bằng hút mọi tập bị chặn.

c) Tập $\pi_K(T)$ là một tập con lồi cân bằng hút mọi tập bị chặn của $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$. (Cho A là một tập con bị chặn của $\mathscr{C}_K^{\infty}(U)'$; bây giờ chứng minh rằng tồn tại một lân cận W của 0 trong $\mathscr{D}(U)$ sao cho $A\subset (W\cap \mathscr{C}_K^{\infty}(U))^{\circ}$ và suy ra rằng A được chứa trong $\pi_K(W^{\circ})$, do đó bị $\pi_K(T)$ hút.)

d) Suy ra rằng S là một lân cận của 0, và kết luận rằng không gian $\mathscr{D}'(U)$ là bornological. (Chú ý rằng $\pi_K(T)$ là một lân cận của 0, và nhận thấy rằng S chứa $\pi^{-1}_K(\pi_K(T)).$)