Exercice 19, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit $U\subset \mathbf{R}^n$ une partie ouverte.

a) Soit $f\in \mathscr{D}'(U)$. La réunion V des ensembles ouverts $W\subset U$ tels que la restriction de $f$ à W est nulle est ouverte dans U.

On appelle support de $f$ le complémentaire de V ; c’est une partie fermée de U.

b) Soit $f\in \mathscr{D}'(U)$ et soit $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ dont le support ne rencontre pas le support de $f$. On a $\langle f, \varphi \rangle = 0$.

c) Soit $f\in \mathscr{D}'(U)$ et $\alpha \in \mathbf{N}^n$. Le support de $\partial^{\alpha}f$ est contenu dans le support de $f$.

d) Si $f\in \mathscr{D}'(U)$ est la distribution associée à une mesure $\nu$, alors le support de $f$ coïncide avec le support de $\nu$.

e) Soit $f$ une distribution à support compact dans U. La forme linéaire $f$ s’étend en une forme linéaire continue sur l’espace $\mathscr{C}^{\infty}(U)$.

f) L’espace des distributions à support compact dans U s’identifie avec le dual de l’espace $\mathscr{C}^{\infty}(U)$.

g) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ une distribution à support compact. On a $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$. h) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ une distribution à support compact. La transformée de Fourier de $f$ appartient à $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$; c’est une fonction à croissance polynomiale ainsi que toutes ses dérivées.