Bài tập 19, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho $U\subset \mathbf{R}^n$ là một tập con mở.

a) Cho $f\in \mathscr{D}'(U)$. Hợp V của các tập mở $W\subset U$ sao cho hạn chế của $f$ lên W bằng không là mở trong U.

Phần bù của V được gọi là giá của $f$; đó là một tập con đóng của U.

b) Cho $f\in \mathscr{D}'(U)$ và cho $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ có giá không giao với giá của $f$. Khi đó $\langle f, \varphi \rangle = 0$.

c) Cho $f\in \mathscr{D}'(U)$ và $\alpha \in \mathbf{N}^n$. Giá của $\partial^{\alpha}f$ được chứa trong giá của $f$.

d) Nếu $f\in \mathscr{D}'(U)$ là phân phối liên kết với một độ đo $\nu$, thì giá của $f$ trùng với giá của $\nu$.

e) Cho $f$ là một phân phối có giá compact trong U. Dạng tuyến tính $f$ mở rộng thành một dạng tuyến tính liên tục trên không gian $\mathscr{C}^{\infty}(U)$.

f) Không gian các phân phối có giá compact trong U được đồng nhất với đối ngẫu của không gian $\mathscr{C}^{\infty}(U)$.

g) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ là một phân phối có giá compact. Khi đó $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$. h) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ là một phân phối có giá compact. Biến đổi Fourier của $f$ thuộc $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$; đó là một hàm tăng trưởng đa thức, cũng như mọi đạo hàm của nó.