Exercice 2, § 3

Soient $x_0\in \mathbf{R}^n,r >0$ et $t >1$. Il existe $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ telle que

(i) On a $0\leqslant \varphi \leqslant 1$;

(ii) On a $\varphi (x) = 1$ pour $\|x-x_0\|\leqslant r$ et $\varphi (x) = 0$ pour $\|x-x_0\|\geqslant tr$;

(iii) Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$, on a

sup$_{x\in\mathbf{R}^n}|\partial^{\alpha}\varphi (x)|\leqslant \alpha$!(($t-1$)$r$)$^{|\alpha|}$.