Exercice 20, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note $V_n$ l’ouvert dans $\mathbf{C}$ formé des nombres complexes $\lambda$ tels que $\mathscr{R}(\lambda )>-n-1$ et $\lambda \notin \{-1,-2, . . . ,-n\}$.

Soit $\lambda \in V_0$. On note $x^{\lambda}_+$ la distribution sur $\mathbf{R}$ définie par la fonction localement intégrable

$\{0$ si $x\leqslant 0$,

$x^{\lambda}$ si $x >0$.

a) L’application $\lambda \mapsto x^{\lambda}_+$ de $V_0$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$ est analytique. b) Soit $n\in \mathbf{N}$. Pour tout $\lambda \in V_n$, l’application définie sur $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ par

$\int 1\lambda ('xn-1(n-1))$

$\varphi \mapsto x\varphi (x)-\varphi (0)-x\varphi (0)- \cdots -\varphi$ (0) $dx$

$_0(n-$ 1)!

est une distribution tempérée ; elle ne dépend pas de l’entier $n$ tel que $\lambda \in V_n$, et coïncide avec $x^{\lambda}_+$ lorsque $\lambda \in V_0$.

On notera $x^{\lambda}_+$ la distribution ainsi définie pour tout $\lambda$ appartenant à la réunion des ensembles $V_n$ pour $n\in \mathbf{N}$.

c) Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $-n-1<\mathscr{R}(\lambda )<-n$. Pour toute fonction de Schwartz $\varphi$ sur $\mathbf{R}$, on a

$\lambda \int+\infty \lambda ('xn-1(n-1))$

$\langle x_+, \varphi \rangle =x\varphi (x)-\varphi (0)-x\varphi (0)- \cdots -\varphi$ (0) $dx$.

$_0(n-$ 1)!

L’application de $V_n$ dans $\mathscr{D}'(U)$ définie par $\lambda \mapsto x^{\lambda}_+$ est analytique.

d) Pour tout $\lambda$ appartenant à la réunion des ensembles $V_m$, on a la formule