Bài tập 20, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Ký hiệu $V_n$ là tập mở trong $\mathbf{C}$ tạo bởi các số phức $\lambda$ sao cho $\mathscr{R}(\lambda )>-n-1$ và $\lambda \notin \{-1,-2, . . . ,-n\}$.

Cho $\lambda \in V_0$. Ký hiệu $x^{\lambda}_+$ là phân bố trên $\mathbf{R}$ được xác định bởi hàm khả tích địa phương

$\{0$ nếu $x\leqslant 0$,

$x^{\lambda}$ nếu $x >0$.

a) Ánh xạ $\lambda \mapsto x^{\lambda}_+$ từ $V_0$ vào $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$ là giải tích. b) Cho $n\in \mathbf{N}$. Với mọi $\lambda \in V_n$, ánh xạ được xác định trên $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ bởi

$\int 1\lambda ('xn-1(n-1))$

$\varphi \mapsto x\varphi (x)-\varphi (0)-x\varphi (0)- \cdots -\varphi$ (0) $dx$

$_0(n-$ 1)!

là một phân bố ôn hòa; nó không phụ thuộc vào số nguyên $n$ sao cho $\lambda \in V_n$, và trùng với $x^{\lambda}_+$ khi $\lambda \in V_0$.

Ta sẽ ký hiệu $x^{\lambda}_+$ là phân bố thu được theo cách này với mọi $\lambda$ thuộc hợp của các tập hợp $V_n$ với $n\in \mathbf{N}$.

c) Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $-n-1<\mathscr{R}(\lambda )<-n$. Với mọi hàm Schwartz $\varphi$ trên $\mathbf{R}$, ta có

$\lambda \int+\infty \lambda ('xn-1(n-1))$

$\langle x_+, \varphi \rangle =x\varphi (x)-\varphi (0)-x\varphi (0)- \cdots -\varphi$ (0) $dx$.

$_0(n-$ 1)!

Ánh xạ từ $V_n$ vào $\mathscr{D}'(U)$ được xác định bởi $\lambda \mapsto x^{\lambda}_+$ là giải tích.

d) Với mọi $\lambda$ thuộc hợp của các tập hợp $V_m$, ta có công thức