Exercice 21, § 3

a) Soit $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R})$. La fonction $g$ sur $\mathbf{R}$ telle que $g(0) = 2f'(0)$ et $g(x) =$ $(f(x)-f(-x))/x$ pour tout $x\not = 0$ est intégrable sur $\mathbf{R}$ par rapport à la mesure de Lebesgue. L’application qui à $f$ associe l’intégrale de $g$ sur $\mathbf{R}$ est une distribution tempérée, notée vp, et appelée valeur principale de Cauchy de $1/x$.

b) Pour tout $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R})$, on a

$\langle$vp$, f\rangle =$ lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{\mathbf{R}-[-\varepsilon ,\varepsilon]}\frac{f(x)}{x}dx$.

c) La restriction de vp à $\mathbf{R}-\{0\}$ est la distribution associée à la fonction localement intégrable $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbf{R}-\{0\}$.

d) La distribution vp coïncide avec la dérivée de la distribution associée à la fonction localement intégrable sur $\mathbf{R}$ prenant valeur 0 en 0 et définie pour $x\not = 0$ par $x\mapsto$ log($|x|$).

e) Soit $\varepsilon >0$. On note $p_{\varepsilon}$ la fonction $x\mapsto 1/(x+i\varepsilon )$ sur $\mathbf{R}$. On a

lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}p_{\varepsilon}=$ vp $-i\pi \varepsilon_0$

dans l’espace $\mathscr{S}'(\mathbf{R})$ muni de la topologie faible, où $\varepsilon_0$ est la distribution tempérée associée à la masse ponctuelle en 0.