Bài tập 21, § 3

a) Cho $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R})$. Hàm $g$ trên $\mathbf{R}$ sao cho $g(0) = 2f'(0)$ và $g(x) =$ $(f(x)-f(-x))/x$ với mọi $x\not = 0$ là khả tích trên $\mathbf{R}$ đối với độ đo Lebesgue. Ánh xạ liên kết với $f$ tích phân của $g$ trên $\mathbf{R}$ là một phân bố tempered, ký hiệu vp, và được gọi là giá trị chính Cauchy của $1/x$.

b) Với mọi $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R})$, ta có

$\langle$vp$, f\rangle =$ lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{\mathbf{R}-[-\varepsilon ,\varepsilon]}\frac{f(x)}{x}dx$.

c) Hạn chế của vp trên $\mathbf{R}-\{0\}$ là phân bố liên kết với hàm khả tích địa phương $x\mapsto 1/x$ trên $\mathbf{R}-\{0\}$.

d) Phân bố vp trùng với đạo hàm của phân bố liên kết với hàm khả tích địa phương trên $\mathbf{R}$ nhận giá trị 0 tại 0 và được xác định với $x\not = 0$ bởi $x\mapsto$ log($|x|$).

e) Cho $\varepsilon >0$. Ký hiệu $p_{\varepsilon}$ là hàm $x\mapsto 1/(x+i\varepsilon )$ trên $\mathbf{R}$. Ta có

lim$_{\varepsilon\rightarrow 0}p_{\varepsilon}=$ vp $-i\pi \varepsilon_0$

trong không gian $\mathscr{S}'(\mathbf{R})$ được trang bị tôpô yếu, trong đó $\varepsilon_0$ là phân bố tempered liên kết với khối điểm tại 0.