Exercice 23, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit U un ouvert de $\mathbf{R}^n$. On note $\mu$ la mesure de Lebesgue sur U. Pour $m\in \mathbf{N}$, on note $\boldsymbol{m}= (m, . . . , m)\in \mathbf{N}^n$.

a) Soit $f\in \mathscr{D}(U)$. On suppose qu’il existe un entier $m\geqslant 1$ et un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que

pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(U)$. Il existe alors une fonction $g\in L^{\infty}(U)$ telle que $f=\partial^{\boldsymbol{m}}g$. (L’application linéaire $\varphi \mapsto \partial^{\boldsymbol{m}}\varphi$ est injective sur $\mathscr{D}(U)$; soit E son image ; considérer la forme linéaire de E dans $\mathbf{C}$ qui à $\partial^{\boldsymbol{m}}\varphi$ associe $\langle f, \varphi \rangle$ et appliquer le théorème de Hahn–Banach.)

b) Soit V un ouvert relativement compact contenu dans U. Il existe un entier $m\geqslant 1$ et $c\geqslant 0$ tels que

pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ à support contenu dans V.

c) Pour tout ouvert relativement compact $V\subset U$, il existe une fonction continue $g\in \mathscr{C}(V)$ et $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que la restriction de $f$ à V est égale à $\partial^{\alpha}g$. d) Donner un exemple de distribution $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ telle que $f$ n’est pas de la forme $f=\partial^{\alpha}g$ pour une fonction continue $g\in \mathscr{C}(\mathbf{R}^n)$ et $\alpha \in \mathbf{N}^n$.