Bài tập 23, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho U là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Ta ký hiệu $\mu$ là độ đo Lebesgue trên U. Với $m\in \mathbf{N}$, ta ký hiệu $\boldsymbol{m}= (m, . . . , m)\in \mathbf{N}^n$.

a) Cho $f\in \mathscr{D}(U)$. Giả sử tồn tại một số nguyên $m\geqslant 1$ và một số thực $c\geqslant 0$ sao cho

với mọi $\varphi \in \mathscr{D}(U)$. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một hàm $g\in L^{\infty}(U)$ sao cho $f=\partial^{\boldsymbol{m}}g$. (Ánh xạ tuyến tính $\varphi \mapsto \partial^{\boldsymbol{m}}\varphi$ là đơn ánh trên $\mathscr{D}(U)$; gọi E là ảnh của nó; xét dạng tuyến tính trên E vào $\mathbf{C}$ gán cho $\partial^{\boldsymbol{m}}\varphi$ giá trị $\langle f, \varphi \rangle$ và áp dụng định lý Hahn–Banach.)

b) Cho V là một tập con mở tương đối compact được chứa trong U. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $m\geqslant 1$ và $c\geqslant 0$ sao cho

với mọi $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ mà giá của nó được chứa trong V.

c) Với mọi tập con mở tương đối compact $V\subset U$, chứng minh rằng tồn tại một hàm liên tục $g\in \mathscr{C}(V)$ và $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho hạn chế của $f$ lên V bằng $\partial^{\alpha}g$. d) Cho một ví dụ về một phân phối $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ sao cho $f$ không có dạng $f=\partial^{\alpha}g$ với một hàm liên tục $g\in \mathscr{C}(\mathbf{R}^n)$ và $\alpha \in \mathbf{N}^n$.