Exercice 24, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit U un ouvert de $\mathbf{R}^n$. Soit $f\in \mathscr{D}'(U)$ une distribution dont le support C est compact dans U.

a) Il existe un entier $m\in \mathbf{N}$ tel que la distribution $f$ s’étend en une forme linéaire continue sur l’espace $\mathscr{C}^m(U)$ muni de la topologie de la convergence compacte des fonctions et de leurs dérivées partielles d’ordre $\leqslant m$.

Le plus petit entier $m$ vérifiant cette propriété est appelé l’ordre de $f$.

b) Soit $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ telle que $\partial^{\alpha}\varphi$ est nulle sur C pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant m$. On a alors $\langle f, \varphi \rangle = 0$. (Considérer pour $\delta >0$ assez petit le voisinage $U_{\delta}$ de C formé des $x\in U$ tels que $d(x,C)\leqslant \delta$, et montrer qu’il existe $\eta \geqslant 0$, tendant vers 0 quand $\delta$ tend vers 0, tel que, pour un certain $C_0\geqslant 0$, on ait $|\partial^{\alpha}\varphi (x)|\leqslant C_0\delta^{m-|\alpha|}\eta$ pour $x\in U_{\delta}$ et $|\alpha |\leqslant m$; montrer qu’il existe une fonction $\beta_{\delta}\in \mathscr{D}(U)$ égale à 1 sur $U_{\delta /4}$ et à support contenu dans $U_{\delta}$ vérifiant $|\partial^{\alpha}\beta_{\delta}|\leqslant C_1\delta^{-|\alpha|}$ pour un certain $C_1\geqslant 0$; observer enfin que $\langle f, \varphi \rangle =\langle f, \varphi \beta_{\delta}\rangle$ et que $\varphi \beta_{\delta}$ tend vers 0 dans $\mathscr{C}^m(U).$)

c) Soit $x\in U$. L’espace des distributions $f$ dont le support de $f$ est réduit à $x$ admet comme base algébrique les distributions $\partial^{\alpha}\varepsilon_x$, où $\alpha \in \mathbf{N}^n$.

d) Soit $n= 1$. La formule

$\langle f, \varphi \rangle =$ lim$_{m\rightarrow+\infty}(\sum_{1\leqslant k\leqslant m}\varphi (k^{-1})-m\varphi (0)-$ log($m$)$\varphi '(0))$

définit une distribution sur $\mathbf{R}$, d’ordre 1, dont le support est compact, égal à l’ensemble $C =\{0\} \cup \{1/(n+ 1)|n\in \mathbf{N}\}$. Il existe des suites $(\varphi_n)$ dans $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ telles que $\partial^{\alpha}\varphi_n$ converge uniformément vers 0 sur C pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant 1$, mais $\langle f, \varphi_n\rangle \rightarrow +\infty$.