Bài tập 24, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho U là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Cho $f\in \mathscr{D}'(U)$ là một phân bố có giá đỡ C compact trong U.

a) Tồn tại một số nguyên $m\in \mathbf{N}$ sao cho phân bố $f$ mở rộng thành một dạng tuyến tính liên tục trên không gian $\mathscr{C}^m(U)$ được trang bị tôpô hội tụ compact của các hàm và các đạo hàm riêng của chúng có cấp $\leqslant m$.

Số nguyên nhỏ nhất $m$ thỏa mãn tính chất này được gọi là cấp của $f$.

b) Cho $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ sao cho $\partial^{\alpha}\varphi$ bằng không trên C với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ thỏa mãn $|\alpha |\leqslant m$. Khi đó $\langle f, \varphi \rangle = 0$. (Với $\delta >0$ đủ nhỏ, xét lân cận $U_{\delta}$ của C tạo bởi các $x\in U$ sao cho $d(x,C)\leqslant \delta$, và chứng minh rằng tồn tại $\eta \geqslant 0$, tiến tới 0 khi $\delta$ tiến tới 0, sao cho, với một $C_0\geqslant 0$ nào đó, ta có $|\partial^{\alpha}\varphi (x)|\leqslant C_0\delta^{m-|\alpha|}\eta$ với $x\in U_{\delta}$ và $|\alpha |\leqslant m$; chứng minh rằng tồn tại một hàm $\beta_{\delta}\in \mathscr{D}(U)$ bằng 1 trên $U_{\delta /4}$ và có giá đỡ được chứa trong $U_{\delta}$ thỏa mãn $|\partial^{\alpha}\beta_{\delta}|\leqslant C_1\delta^{-|\alpha|}$ với một $C_1\geqslant 0$ nào đó; cuối cùng nhận xét rằng $\langle f, \varphi \rangle =\langle f, \varphi \beta_{\delta}\rangle$ và rằng $\varphi \beta_{\delta}$ tiến tới 0 trong $\mathscr{C}^m(U).$)

c) Cho $x\in U$. Không gian các phân bố $f$ có giá đỡ thu gọn thành $x$ nhận làm cơ sở đại số các phân bố $\partial^{\alpha}\varepsilon_x$, trong đó $\alpha \in \mathbf{N}^n$.

d) Cho $n= 1$. Công thức

$\langle f, \varphi \rangle =$ lim$_{m\rightarrow+\infty}(\sum_{1\leqslant k\leqslant m}\varphi (k^{-1})-m\varphi (0)-$ log($m$)$\varphi '(0))$

xác định một phân bố trên $\mathbf{R}$, cấp 1, có giá đỡ compact, bằng tập hợp $C =\{0\} \cup \{1/(n+ 1)|n\in \mathbf{N}\}$. Tồn tại các dãy $(\varphi_n)$ trong $\mathscr{D}(\mathbf{R})$ sao cho $\partial^{\alpha}\varphi_n$ hội tụ đều về 0 trên C với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ thỏa mãn $|\alpha |\leqslant 1$, nhưng $\langle f, \varphi_n\rangle \rightarrow +\infty$.