Exercice 25, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note N la norme euclidienne sur $\mathbf{R}^n$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue.

On note $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ dont les éléments sont les fonctions $\varphi$ telles que $\partial^{\alpha}\varphi \in L^1(\mathbf{R}^n)$ et $\partial^{\alpha}\varphi \in \mathscr{C}_0(\mathbf{R}^n)$ pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$. a) L’espace $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$, muni de la topologie définie par les semi-normes

est un espace de Fréchet.

b) L’espace $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ est contenu et dense dans $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$. On peut identifier l’espace dual $\mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ de $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ à un sous-espace de $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

c) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. On a $f\in \mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ si et seulement s’il existe un ensemble fini I, une famille $(\alpha_i)_{i\in I}$ dans $\mathbf{N}^n$ et une famille $(g_i)_{i\in I}$ dans $L^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ tels que

(Déterminer I et la famille $(\alpha_i)$ de sorte que $|\langle f, \varphi \rangle |$ est borné lorsque $\varphi$ est telle que $q_{\alpha_i}(\varphi )\leqslant 1$ pour tout $i\in I$; identifier $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ à un sous-espace vectoriel de $L^1(\mathbf{R}^n)^m$ par l’application $\varphi \mapsto (\partial^{\alpha_i}\varphi )_{i\in I}$, et appliquer le théorème de Hahn–Banach.)

d) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. On a $f\in \mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ si et seulement s’il existe une fonction continue $g$ à croissance modérée sur $\mathbf{R}^n$ et $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tels que $f=\partial^{\alpha}g$. e) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Il existe un entier $m\in \mathbf{N}$ tel que $(1 + N^2)^{-m/2}f$ appartient à $\mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$.

f) Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. On a $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ si et seulement s’il existe une fonction continue bornée $g:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{C}$, un entier $m\in \mathbf{N}$ et $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tels que $f=\partial^{\alpha}((1 + N^2)^{m/2}g)$.