Bài tập 25, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Gọi N là chuẩn Euclid trên $\mathbf{R}^n$ và $\mu$ là độ đo Lebesgue.

Gọi $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ là không gian con vectơ của $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ mà các phần tử của nó là các hàm $\varphi$ sao cho $\partial^{\alpha}\varphi \in L^1(\mathbf{R}^n)$ và $\partial^{\alpha}\varphi \in \mathscr{C}_0(\mathbf{R}^n)$ với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$. a) Không gian $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$, được trang bị tôpô xác định bởi các bán chuẩn

là một không gian Fréchet.

b) Không gian $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ được chứa trong và trù mật trong $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$. Người ta có thể đồng nhất không gian đối ngẫu $\mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ của $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ với một không gian con của $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

c) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Khi đó $f\in \mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ khi và chỉ khi tồn tại một tập hợp hữu hạn I, một họ $(\alpha_i)_{i\in I}$ trong $\mathbf{N}^n$ và một họ $(g_i)_{i\in I}$ trong $L^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ sao cho

(Xác định I và họ $(\alpha_i)$ sao cho $|\langle f, \varphi \rangle |$ bị chặn khi $\varphi$ là sao cho $q_{\alpha_i}(\varphi )\leqslant 1$ với mọi $i\in I$; đồng nhất $\mathscr{D}_{L^1}(\mathbf{R}^n)$ với một không gian con vectơ của $L^1(\mathbf{R}^n)^m$ bằng ánh xạ $\varphi \mapsto (\partial^{\alpha_i}\varphi )_{i\in I}$, và áp dụng định lý Hahn–Banach.)

d) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Khi đó $f\in \mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$ khi và chỉ khi tồn tại một hàm liên tục $g$ có tăng trưởng vừa phải trên $\mathbf{R}^n$ và $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $f=\partial^{\alpha}g$. e) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Tồn tại một số nguyên $m\in \mathbf{N}$ sao cho $(1 + N^2)^{-m/2}f$ thuộc $\mathscr{D}'_{L_1}(\mathbf{R}^n)$.

f) Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Khi đó $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ khi và chỉ khi tồn tại một hàm liên tục bị chặn $g:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{C}$, một số nguyên $m\in \mathbf{N}$ và $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $f=\partial^{\alpha}((1 + N^2)^{m/2}g)$.