Exercice 26, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On munit $\mathbf{R}^n$ de la mesure de Lebesgue $\mu$ et on identifie $\mathbf{R}^n$ à son dual par l’application $(x, y)\mapsto$ exp(2$i\pi x\cdot y$).

a) Pour toute fonction $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, l’application $g\mapsto f*g$ est un automorphisme d’espaces localement convexes de $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$.

b) Soient $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ et $g\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$. L’application $\varphi \mapsto \langle f,\check{g}*\varphi \rangle$ est une distribution tempérée, appelée convolution de $f$ et $g$. Si $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, elle coïncide avec la distribution associée à $f*g$. On notera encore $f*g$ la distribution tempérée ainsi définie.

Dans les questions qui suivent, on fixe $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ et $g\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$

c) On a $f*g\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R})$ et

pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$.

d) Pour tout $y\in \mathbf{R}^n$, notons $g_y$ la fonction $x\mapsto g(y-x)$ sur $\mathbf{R}^n$. La fonction $f*g$ vérifie

pour tout $y\in \mathbf{R}^n$.

e) Soit $h\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$. On a $(f*g)*h=f*(g*h)$.

f ) La fonction $f*g$ est à croissance polynomiale, ainsi que toutes ses dérivées. (Utiliser l’exercice 25.)

g) On a $\mathscr{F}(f*g) =\mathscr{F}(f)\mathscr{F}(g)$.

h) La transformée de Fourier de $f g$ est une fonction indéfiniment différentiable sur $\mathbf{R}^n$ et à croissance polynomiale ainsi que toutes ses dérivées. De plus, pour tout $y\in \mathbf{R}^n$, on a

où $e_y$ désigne le caractère $x\mapsto$ exp(2$i\pi x\cdot y$) de $\mathbf{R}^n$.