Bài tập 26, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Trang bị cho $\mathbf{R}^n$ độ đo Lebesgue $\mu$ và đồng nhất $\mathbf{R}^n$ với đối ngẫu của nó qua ánh xạ $(x, y)\mapsto$ exp(2$i\pi x\cdot y$).

a) Chứng minh rằng với mọi hàm $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, ánh xạ $g\mapsto f*g$ là một tự đẳng cấu của không gian lồi địa phương $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$.

b) Cho $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ và $g\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$. Chứng minh rằng ánh xạ $\varphi \mapsto \langle f,\check{g}*\varphi \rangle$ là một phân phối ôn hòa, gọi là tích chập của $f$ và $g$. Nếu $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, nó trùng với phân phối liên kết với $f*g$. Phân phối ôn hòa này sẽ lại được ký hiệu bởi $f*g$.

Trong các câu hỏi sau, cố định $f\in \mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ và $g\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$

c) Chứng minh rằng $f*g\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R})$ và

với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$.

d) Với mọi $y\in \mathbf{R}^n$, ký hiệu $g_y$ là hàm $x\mapsto g(y-x)$ trên $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng hàm $f*g$ thỏa mãn

với mọi $y\in \mathbf{R}^n$.

e) Cho $h\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$. Chứng minh rằng $(f*g)*h=f*(g*h)$.

f ) Chứng minh rằng hàm $f*g$ có tăng trưởng đa thức, cũng như mọi đạo hàm của nó. (Dùng bài tập 25.)

g) Chứng minh rằng $\mathscr{F}(f*g) =\mathscr{F}(f)\mathscr{F}(g)$.

h) Chứng minh rằng biến đổi Fourier của $f g$ là một hàm khả vi vô hạn trên $\mathbf{R}^n$ và có tăng trưởng đa thức, cũng như mọi đạo hàm của nó. Hơn nữa, với mọi $y\in \mathbf{R}^n$, ta có

trong đó $e_y$ ký hiệu đặc trưng $x\mapsto$ exp(2$i\pi x\cdot y$) của $\mathbf{R}^n$.