Exercice 27, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note N la norme euclidienne sur $\mathbf{R}^n$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur tout ouvert de $\mathbf{R}^n$. Soit Δ l’opérateur différentiel

vu comme endomorphisme de $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

Pour $k\in \mathbf{R}$, on note $S^k(\mathbf{R}^n)$ l’espace des distributions tempérées $f$ dans $\mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ telles que $(1 + N^k)\mathscr{F}(f)$ appartient à $L^2(\mathbf{R}^n)$.

Soit $U\subset \mathbf{R}^n$ une partie ouverte de $\mathbf{R}^n$. On note $S^k_U(\mathbf{R}^n)$ l’espace des distributions $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ telles que pour toute fonction test $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ à support contenu dans U, on a $\varphi f\in S^k(\mathbf{R}^n)$.

a) L’espace $S^k(\mathbf{R}^n)$ est un espace hilbertien avec le produit scalaire

Lorsque $k\in \mathbf{N}$, on a $W^k(\mathbf{R}^n) = S^k(\mathbf{R}^n)$ et les normes de ces deux espaces de Banach sont équivalentes ; de plus, on a alors $W^k(\mathbf{R}^n)\subset S^k_U(\mathbf{R}^n)$.

b) Le dual de $S^k(\mathbf{R}^n)$ s’identifie à $S^{-k}(\mathbf{R}^n)$ par la forme bilinéaire

pour $(f, g)\in S^{-k}(\mathbf{R}^n)\times S^k(\mathbf{R}^n)$.

c) Supposons que U est relativement compact. On a

(Soit $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$; appliquer les résultats de l’exercice 19 à $\varphi f$, où $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ est égale à 1 sur U.)

d) Soient $k\in \mathbf{R}$ et $f\in S^k(\mathbf{R}^n)$. Pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant n$, on a $\partial_if\in S^{k-1}(\mathbf{R}^n)$. De plus, si $\Delta (f)\in S^k(\mathbf{R}^n)$, alors $f\in S^{k+2}(\mathbf{R}^n)$.

e) Soient $k\in \mathbf{R}$ et $f\in S^k_U(\mathbf{R}^n)$. Si $\Delta (f)\in S^k_U(\mathbf{R}^n)$, alors $f\in S^{k+2}_U(\mathbf{R}^n)$. f) Soient $k > n/2$ un nombre réel et $m\in \mathbf{N}$ un entier tel que $m < k-n/2$. L’espace $S^k(\mathbf{R}^n)$ est inclus dans $\mathscr{C}^m(\mathbf{R}^n)$. (En utilisant l’inégalité de CauchySchwarz, vérifier que $x\mapsto x^{\alpha}\mathscr{F}f(x)$ appartient à $L^1(\mathbf{R}^n)$ pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant m$. Montrer ensuite que $\mathscr{F}(f)$ est différentiable sur $\mathbf{R}$ en utilisant la formule d’inversion de Fourier.)

g) Soient $k > n/2$ un nombre réel et $m\in \mathbf{N}$ un entier tel que $m < k-n/2$. La restriction à U d’un élément de $S^k_U(\mathbf{R}^n)$ appartient à $\mathscr{C}^m(U)$. (Pour tout $x\in U$, vérifier qu’on obtient une fonction $g\in \mathscr{C}^m(U)$ bien définie en posant $g(x) = (\varphi_xf)(x)$, où $\varphi_x\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ est une fonction à support dans U égale à 1 au voisinage de $x$; vérifier finalement que la restriction de $f$ à U est égale à $g.$)

h) Soit $g\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Si $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ vérifie $\Delta (f) =g$ et si la restriction de $g$ à U est dans $\mathscr{C}^{\infty}$(U), alors la restriction de $f$ à U est dans $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ (« théorème de régularité elliptique »).