Bài tập 27, § 3

Let $n\in \mathbf{N}$. Ký hiệu N là chuẩn Euclid trên $\mathbf{R}^n$ và $\mu$ là độ đo Lebesgue trên mọi tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Ký hiệu Δ là toán tử vi phân

được xem như một tự đồng cấu của $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

Với $k\in \mathbf{R}$, ký hiệu $S^k(\mathbf{R}^n)$ là không gian các phân phối tempered $f$ trong $\mathscr{S}'(\mathbf{R}^n)$ sao cho $(1 + N^k)\mathscr{F}(f)$ thuộc $L^2(\mathbf{R}^n)$.

Cho $U\subset \mathbf{R}^n$ là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Ký hiệu $S^k_U(\mathbf{R}^n)$ là không gian các phân phối $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ sao cho với mọi hàm thử $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ có giá được chứa trong U, ta có $\varphi f\in S^k(\mathbf{R}^n)$.

a) Không gian $S^k(\mathbf{R}^n)$ là một không gian Hilbert với tích vô hướng

Khi $k\in \mathbf{N}$, ta có $W^k(\mathbf{R}^n) = S^k(\mathbf{R}^n)$ và các chuẩn của hai không gian Banach này là tương đương; hơn nữa, khi đó ta có $W^k(\mathbf{R}^n)\subset S^k_U(\mathbf{R}^n)$.

b) Đối ngẫu của $S^k(\mathbf{R}^n)$ được đồng nhất với $S^{-k}(\mathbf{R}^n)$ bởi dạng song tuyến tính

với $(f, g)\in S^{-k}(\mathbf{R}^n)\times S^k(\mathbf{R}^n)$.

c) Giả sử rằng U tương đối compact. Ta có

(Cho $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$; áp dụng các kết quả của bài tập 19 cho $\varphi f$, trong đó $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ bằng 1 trên U.)

d) Cho $k\in \mathbf{R}$ và $f\in S^k(\mathbf{R}^n)$. Với mọi số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant n$, ta có $\partial_if\in S^{k-1}(\mathbf{R}^n)$. Hơn nữa, nếu $\Delta (f)\in S^k(\mathbf{R}^n)$, thì $f\in S^{k+2}(\mathbf{R}^n)$.

e) Cho $k\in \mathbf{R}$ và $f\in S^k_U(\mathbf{R}^n)$. Nếu $\Delta (f)\in S^k_U(\mathbf{R}^n)$, thì $f\in S^{k+2}_U(\mathbf{R}^n)$.

f) Cho $k > n/2$ là một số thực và $m\in \mathbf{N}$ là một số nguyên sao cho $m < k-n/2$. Không gian $S^k(\mathbf{R}^n)$ được chứa trong $\mathscr{C}^m(\mathbf{R}^n)$. (Dùng bất đẳng thức CauchySchwarz, hãy kiểm tra rằng $x\mapsto x^{\alpha}\mathscr{F}f(x)$ thuộc $L^1(\mathbf{R}^n)$ với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $|\alpha |\leqslant m$. Bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{F}(f)$ khả vi trên $\mathbf{R}$ bằng cách sử dụng công thức đảo Fourier.)

g) Cho $k > n/2$ là một số thực và $m\in \mathbf{N}$ là một số nguyên sao cho $m < k-n/2$. Hạn chế lên U của một phần tử của $S^k_U(\mathbf{R}^n)$ thuộc $\mathscr{C}^m(U)$. (Với mỗi $x\in U$, hãy kiểm tra rằng ta thu được một hàm xác định tốt $g\in \mathscr{C}^m(U)$ bằng cách đặt $g(x) = (\varphi_xf)(x)$, trong đó $\varphi_x\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ là một hàm có giá trong U bằng 1 trong một lân cận của $x$; cuối cùng hãy kiểm tra rằng hạn chế của $f$ lên U bằng $g.$)

h) Cho $g\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$. Nếu $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ thỏa mãn $\Delta (f) =g$ và nếu hạn chế của $g$ lên U thuộc $\mathscr{C}^{\infty}$(U), thì hạn chế của $f$ lên U thuộc $\mathscr{C}^{\infty}(U)$ ("định lý chính quy elliptic").