Exercice 28, § 3

Soient $n$ et $m$ des entiers, et soient $U\subset \mathbf{R}^n$ et $V\subset \mathbf{R}^m$ des ouverts. a) Il existe une unique application linéaire injective de $u$ de $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ dans $\mathscr{D}(U\times V)$ telle que $u(\varphi \otimes \psi )$ est la fonction $(x, y)\mapsto \varphi (x)\psi (y)$ pour tout $(\varphi , \psi )\in \mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$. De plus, l’image de $u$ est dense dans $\mathscr{D}(U\times V)$. On identifie l’espace $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ à un sous-espace de $\mathscr{D}(U\times V)$ à l’aide de l’application $u$.

b) Pour toutes les distributions $f$ sur U et $g$ sur V, il existe une unique distribution $f\otimes g$ sur $U\times V$ telle que $\langle f\otimes g, \varphi \otimes \psi \rangle =\langle f, \varphi \rangle \langle g, \psi \rangle$ pour tout $(\varphi , \psi )\in \mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$.

c) Soient $f\in \mathscr{D}(U)$ et $g\in \mathscr{D}(V)$. Pour tout $\eta \in \mathscr{D}(U\times V)$ et tout $x\in U$, notons $\eta_x$ l’application $y\mapsto \eta (x, y)$. On a $\eta_x\in \mathscr{D}(V)$ et l’application $\varphi$ qui à $x\in U$ associe $\langle f, \eta_x\rangle$ appartient à $\mathscr{D}(U)$ et vérifie