Bài tập 28, § 3

Cho $n$ và $m$ là các số nguyên, và cho $U\subset \mathbf{R}^n$ và $V\subset \mathbf{R}^m$ là các tập mở. (a) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính đơn ánh duy nhất $u$ từ $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ vào $\mathscr{D}(U\times V)$ sao cho $u(\varphi \otimes \psi )$ là hàm $(x, y)\mapsto \varphi (x)\psi (y)$ với mọi $(\varphi , \psi )\in \mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$. Hơn nữa, ảnh của $u$ là trù mật trong $\mathscr{D}(U\times V)$. Ta đồng nhất không gian $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ với một không gian con của $\mathscr{D}(U\times V)$ bằng ánh xạ $u$.

(b) Với mọi phân bố $f$ trên U và $g$ trên V, tồn tại một phân bố duy nhất $f\otimes g$ trên $U\times V$ sao cho $\langle f\otimes g, \varphi \otimes \psi \rangle =\langle f, \varphi \rangle \langle g, \psi \rangle$ với mọi $(\varphi , \psi )\in \mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$.

(c) Cho $f\in \mathscr{D}(U)$ và $g\in \mathscr{D}(V)$. Với mọi $\eta \in \mathscr{D}(U\times V)$ và mọi $x\in U$, ta ký hiệu bằng $\eta_x$ ánh xạ $y\mapsto \eta (x, y)$. Ta có $\eta_x\in \mathscr{D}(V)$ và ánh xạ $\varphi$ gán cho $x\in U$ giá trị $\langle f, \eta_x\rangle$ thuộc về $\mathscr{D}(U)$ và thỏa mãn