Exercice 29, § 3

Soient $n$ et $m$ des entiers et soient $U\subset \mathbf{R}^n$ et $V\subset \mathbf{R}^m$ des ouverts. On reprend les notations de l’exercice précédent. Soit $u$ une application linéaire continue de $\mathscr{D}(U)$ dans $\mathscr{D}'(V)$.

a) Il existe une unique forme linéaire continue $\widetilde{\kappa}$ définie sur le sous-espace $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ de $\mathscr{D}(U\times V)$ telle que $\widetilde{\kappa}(\varphi \otimes \psi ) =\langle u(\varphi ), \psi \rangle$ pour tout $(\varphi , \psi )$ dans $\mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$. b) Il existe une distribution $\kappa (u)$ sur $U\times V$ qui prolonge $\widetilde{\kappa}$, et l’application $u\mapsto \kappa (u)$ de $\mathscr{L}(\mathscr{D}(U),\mathscr{D}'(V))$ dans $\mathscr{D}'(U\times V)$ est continue.

c) L’application $\kappa$ est bijective (« théorème du noyau de Schwartz » ; pour démontrer la surjectivité de $\kappa$, étant donnée une distribution $\eta$ sur $U\times V$, définir $u(\varphi )$ comme la distribution $\psi \mapsto \langle \eta , \varphi \otimes \psi \rangle$ sur V.)