Bài tập 29, § 3

Cho $n$ và $m$ là các số nguyên và cho $U\subset \mathbf{R}^n$ và $V\subset \mathbf{R}^m$ là các tập mở. Ta lại dùng ký hiệu của bài tập trước. Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\mathscr{D}(U)$ vào $\mathscr{D}'(V)$.

a) Tồn tại một dạng tuyến tính liên tục duy nhất $\widetilde{\kappa}$ được định nghĩa trên không gian con $\mathscr{D}(U)\otimes \mathscr{D}(V)$ của $\mathscr{D}(U\times V)$ sao cho $\widetilde{\kappa}(\varphi \otimes \psi ) =\langle u(\varphi ), \psi \rangle$ với mọi $(\varphi , \psi )$ trong $\mathscr{D}(U)\times \mathscr{D}(V)$. b) Tồn tại một phân phối $\kappa (u)$ trên $U\times V$ mở rộng $\widetilde{\kappa}$, và ánh xạ $u\mapsto \kappa (u)$ từ $\mathscr{L}(\mathscr{D}(U),\mathscr{D}'(V))$ vào $\mathscr{D}'(U\times V)$ là liên tục.

c) Ánh xạ $\kappa$ là song ánh ("định lý hạt nhân Schwartz"; để chứng minh tính toàn ánh của $\kappa$, với một phân phối $\eta$ cho trước trên $U\times V$, hãy định nghĩa $u(\varphi )$ là phân phối $\psi \mapsto \langle \eta , \varphi \otimes \psi \rangle$ trên V.)