Exercice 30, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note $(x_1, . . . , x_n)$ la base duale de la base canonique de $\mathbf{R}^n$.

a) Soient $c\geqslant 0$ et $r >0$ des nombres réels. Il existe une fonction $u$ définie et analytique sur un voisinage ouvert U de 0 dans $\mathbf{R}^n$ telle que

sur U et $u(x,0) = 0$ lorsque $x\in \mathbf{R}^{n-1}$ vérifie $(x,0)\in U$. (Considérer d’abord le cas $n= 2.$)

b) Soit U un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbf{R}^n$. Soit $(a_1, . . . , a_{n-1}, b)$ des fonctions de $U\times \mathbf{R}$ dans $\mathbf{C}$ qui sont analytiques au voisinage de $(0,0)\in U\times \mathbf{R}$. On note Q l’application de l’espace vectoriel des fonctions analytiques sur U dans lui-même telle que

Il existe au plus une fonction $v$ définie et analytique dans un voisinage ouvert V de 0 contenu dans U telle que $Q(v) = 0$ et telle que $v(x,0) = 0$ pour tout $x\in \mathbf{R}^{n-1}$ tel que $(x,0)\in V$. (Vérifier que les coefficients du développement de Taylor en 0 d’une telle solution $v$ ne peuvent prendre qu’une seule valeur.)

c) Soient $f$ et $g$ des séries formelles dans $\mathbf{C}[[z_1, . . . , z_n]]$. On dit que $f$ majore $g$, et on écrit $f\ll g$, si

avec $|a_{\alpha}|\leqslant b_{\alpha}$ pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$. Si la série formelle $g$ converge dans un voisinage de 0 dans $\mathbf{R}^n$, alors il en est de même de $f$.

d) S’il existe des fonctions $(\widetilde{a}_1, . . . ,\widetilde{a}_{n-1},\widetilde{b})$ analytiques au voisinage de 0 telles que $a_j\ll \widetilde{a}_j$ pour $1\leqslant j\leqslant n-1$ et $b\ll \widetilde{b}$ (au sens où les développements de Taylor en 0 correspondant vérifient ces conditions), et si l’équation

d’inconnue $v$ a une solution analytique dans un voisinage de 0, alors l’équation $Q(v) = 0$ a une unique solution analytique au voisinage de 0. e) Il existe une unique solution de l’équation $Q(v) = 0$ qui est analytique au voisinage de 0 (« théorème de Cauchy–Kowalewski »).