Bài tập 30, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$. Ký hiệu $(x_1, . . . , x_n)$ là cơ sở đối ngẫu của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$.

a) Cho $c\geqslant 0$ và $r >0$ là các số thực. Tồn tại một hàm $u$ được xác định và giải tích trong một lân cận mở U của 0 trong $\mathbf{R}^n$ sao cho

trên U và $u(x,0) = 0$ mỗi khi $x\in \mathbf{R}^{n-1}$ thỏa mãn $(x,0)\in U$. (Trước hết hãy xét trường hợp $n= 2.$)

b) Cho U là một lân cận mở của 0 trong $\mathbf{R}^n$. Cho $(a_1, . . . , a_{n-1}, b)$ là các hàm từ $U\times \mathbf{R}$ vào $\mathbf{C}$, giải tích trong một lân cận của $(0,0)\in U\times \mathbf{R}$. Ký hiệu Q là ánh xạ của không gian vectơ các hàm giải tích trên U vào chính nó sao cho

Tồn tại nhiều nhất một hàm $v$ được xác định và giải tích trong một lân cận mở V của 0 được chứa trong U sao cho $Q(v) = 0$ và sao cho $v(x,0) = 0$ với mọi $x\in \mathbf{R}^{n-1}$ thỏa mãn $(x,0)\in V$. (Hãy kiểm tra rằng các hệ số của khai triển Taylor tại 0 của một nghiệm như thế $v$ chỉ có thể nhận một giá trị duy nhất.)

c) Cho $f$ và $g$ là các chuỗi hình thức trong $\mathbf{C}[[z_1, . . . , z_n]]$. Ta nói rằng $f$ trội hơn $g$, và viết $f\ll g$, nếu

với $|a_{\alpha}|\leqslant b_{\alpha}$ với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$. Nếu chuỗi hình thức $g$ hội tụ trong một lân cận của 0 trong $\mathbf{R}^n$, thì điều tương ứng cũng đúng đối với $f$.

d) Nếu tồn tại các hàm $(\widetilde{a}_1, . . . ,\widetilde{a}_{n-1},\widetilde{b})$ giải tích trong một lân cận của 0 sao cho $a_j\ll \widetilde{a}_j$ với $1\leqslant j\leqslant n-1$ và $b\ll \widetilde{b}$ (theo nghĩa là các khai triển Taylor tương ứng tại 0 thỏa mãn các điều kiện ấy), và nếu phương trình

theo ẩn $v$ có một nghiệm giải tích trong một lân cận của 0, thì phương trình $Q(v) = 0$ có một nghiệm giải tích duy nhất trong một lân cận của 0.

e) Tồn tại một nghiệm duy nhất của phương trình $Q(v) = 0$ giải tích trong một lân cận của 0 ("định lý Cauchy-Kowalewski").