Exercice 31, § 3

On note L l’opérateur différentiel

d’ordre 1 sur $\mathbf{R}^3$, où $(x_1, x_2, x_3)$ est la base duale de la base canonique de $\mathbf{R}^3$, les $x_i$ étant vus comme polynômes sur $\mathbf{R}^3$ (« opérateur de Lewy »).

a) Soit U un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbf{R}^3$. Il existe une fonction $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ telle que $\varphi (0) = 1$ et telle que $L(\varphi )$ est nulle dans un voisinage V de 0 contenu dans U. (Utiliser le théorème de Cauchy–Kowalewski.)

b) Soit $u\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ une fonction telle que $L(u) = 0$ et $u(0) = 0$. On suppose qu’il existe $\delta >0$ tel que $\mathscr{R}(u(x))<-2\delta$ pour $x\in U$ - V. On pose $v_t=\varphi$ exp($t(u+\delta )$). On a $v_t\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ et $L(v_t)$ tend vers 0 dans $\mathscr{D}(U)$ quand $t\rightarrow +\infty$.

c) Soit F l’espace des fonctions $f\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ telles que $\partial^{\alpha}f$ est bornée sur U pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^3$. L’espace F muni des semi-normes $q_{\alpha}(f) =$ sup$_{x\in U}|\partial^{\alpha}f|$ est un espace de Fréchet.

d) Soit $\psi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^3)$. Notons $f_t$ la restriction à U de la fonction $x\mapsto t^3\psi (tx)$. On a $f_t\in F$ pour $t\geqslant 1$, et il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que $q_{\alpha}(f_t)\leqslant ct^{|\alpha|+3}$ pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^3$ et tout $t\geqslant 1$.

e) Pour tout $t\geqslant 1$, on note $\lambda_t$ la forme linéaire $f\mapsto \int_Uf v_t$ sur F. Elle est continue et pour $t$ assez grand, on a

$\lambda_t(f_t) =e^{\delta t}(\int_U\psi (x)$ exp$(\sum_{j=1}^3\xi_jx_j)dx_1dx_2dx_3+\varepsilon (t))$

où $\xi_j=\partial_ju(0)$ et $\varepsilon (t)\rightarrow 0$ quand $t\rightarrow +\infty$.

f ) On suppose que $(\xi_j)\not = 0$; il existe $f\in F$ telle que les intégrales $\int_Uf v_t$ ne sont pas bornées quand $t\rightarrow +\infty$. (Si l’assertion était en défaut, obtenir une contradiction en utilisant la question précédente et le théorème de Banach– Steinhaus.)

g) Les fonctions $v_t$ ne convergent pas vers 0 dans $\mathscr{D}'(U)$ lorsque $t\rightarrow +\infty$. h) Soit $\xi = (0,0, \xi_3)\in \mathbf{R}^3$ tel que $\xi_3<0$. Il existe un voisinage U de 0 dans $\mathbf{R}^3$ et une fonction $u\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ telle que $L(u) = 0$ et $u(0) = 0$, et qui vérifie les conditions des questions b) et f). (Utiliser le théorème de Cauchy–Kowalewski.)

i) Soient $(v_t)$ des fonctions dans $\mathscr{D}(U)$ telles que $L(v_t)\rightarrow 0$, et $f\in \mathscr{D}(U)$ tel que $\int_Uf v_t$ n’est pas borné quand $t\rightarrow +\infty$ (question g)) ; l’équation $Lv=f$ n’a pas de solution $v\in \mathscr{D}'(U)$ (« théorème de Lewy »). (Noter que l’adjoint formel de L coïncide avec L.)