Bài tập 31, § 3

Cho $L$ là toán tử vi phân

cấp 1 trên $\mathbf{R}^3$, trong đó $(x_1, x_2, x_3)$ là cơ sở đối ngẫu của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^3$, các $x_i$ được xem như các đa thức trên $\mathbf{R}^3$ (“toán tử Lewy”).

a) Cho U là một lân cận mở của 0 trong $\mathbf{R}^3$. Tồn tại một hàm $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ sao cho $\varphi (0) = 1$ và sao cho $L(\varphi )$ là không trong một lân cận V của 0 được chứa trong U. (Sử dụng định lý Cauchy–Kowalewski.)

b) Cho $u\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ là một hàm sao cho $L(u) = 0$ và $u(0) = 0$. Giả sử rằng tồn tại $\delta >0$ sao cho $\mathscr{R}(u(x))<-2\delta$ với $x\in U$ - V. Đặt $v_t=\varphi$ exp($t(u+\delta )$). Khi đó $v_t\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ và $L(v_t)$ tiến tới 0 trong $\mathscr{D}(U)$ khi $t\rightarrow +\infty$.

c) Cho F là không gian các hàm $f\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ sao cho $\partial^{\alpha}f$ bị chặn trên U với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^3$. Không gian F được trang bị các nửa chuẩn $q_{\alpha}(f) =$ sup$_{x\in U}|\partial^{\alpha}f|$ là một không gian Fréchet.

d) Cho $\psi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^3)$. Ký hiệu $f_t$ là hạn chế vào U của hàm $x\mapsto t^3\psi (tx)$. Khi đó $f_t\in F$ với $t\geqslant 1$, và tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho $q_{\alpha}(f_t)\leqslant ct^{|\alpha|+3}$ với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^3$ và mọi $t\geqslant 1$.

e) Với mọi $t\geqslant 1$, gọi $\lambda_t$ là dạng tuyến tính $f\mapsto \int_Uf v_t$ trên F. Nó liên tục và, với $t$ đủ lớn, ta có

$\lambda_t(f_t) =e^{\delta t}(\int_U\psi (x)$ exp$(\sum_{j=1}^3\xi_jx_j)dx_1dx_2dx_3+\varepsilon (t))$

trong đó $\xi_j=\partial_ju(0)$ và $\varepsilon (t)\rightarrow 0$ khi $t\rightarrow +\infty$.

f ) Giả sử rằng $(\xi_j)\not = 0$; tồn tại $f\in F$ sao cho các tích phân $\int_Uf v_t$ không bị chặn khi $t\rightarrow +\infty$. (Nếu mệnh đề là sai, hãy thu được một mâu thuẫn bằng cách sử dụng câu hỏi trước và định lý Banach– Steinhaus.)

g) Các hàm $v_t$ không hội tụ về 0 trong $\mathscr{D}'(U)$ khi $t\rightarrow +\infty$.

h) Cho $\xi = (0,0, \xi_3)\in \mathbf{R}^3$ sao cho $\xi_3<0$. Tồn tại một lân cận U của 0 trong $\mathbf{R}^3$ và một hàm $u\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ sao cho $L(u) = 0$ và $u(0) = 0$, thỏa mãn các điều kiện của các câu hỏi b) và f). (Sử dụng định lý Cauchy–Kowalewski.)

i) Cho $(v_t)$ là các hàm trong $\mathscr{D}(U)$ sao cho $L(v_t)\rightarrow 0$, và cho $f\in \mathscr{D}(U)$ là sao cho $\int_Uf v_t$ không bị chặn khi $t\rightarrow +\infty$ (câu hỏi g)) ; phương trình $Lv=f$ không có nghiệm $v\in \mathscr{D}'(U)$ ("định lý Lewy"). (Chú ý rằng đối ngẫu hình thức của L trùng với L.)