Exercice 32, § 3

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On note Δ le laplacien sur $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, défini par

Soit $u$ une fonction localement intégrable sur $\mathbf{R}^n$ telle que $\Delta (u)$ est une fonction localement intégrable.

Soit $v\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ la fonction définie par

$\{0$ si $u(x) = 0$,

$\overline{u(x)}/|u(x)|$ si $u(x)\not = 0$.

a) Pour $\varepsilon >$ 0, on pose $u_{\varepsilon}= (|u|^2+\varepsilon^2)^{1/2}$. Démontrer que la distribution $-\Delta (u_{\varepsilon})-\mathscr{R}(u/u_{\varepsilon}\Delta (u))$ est positive. (Considérer d’abord le cas où $u\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$, puis utiliser la convolution pour traiter le cas général.)

b) La distribution $-\Delta (|u|)-\mathscr{R}(v\Delta (u))$ est positive (« inégalité de Kato »).