Bài tập 32, § 3

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Ký hiệu Δ là toán tử Laplace trên $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, được định nghĩa bởi

Cho $u$ là một hàm khả tích địa phương trên $\mathbf{R}^n$ sao cho $\Delta (u)$ là một hàm khả tích địa phương.

Cho $v\in \mathscr{L}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$ là hàm được xác định bởi

$\{0$ nếu $u(x) = 0$,

$\overline{u(x)}/|u(x)|$ nếu $u(x)\not = 0$.

a) Với $\varepsilon >$ 0, đặt $u_{\varepsilon}= (|u|^2+\varepsilon^2)^{1/2}$. Chứng minh rằng phân phối $-\Delta (u_{\varepsilon})-\mathscr{R}(u/u_{\varepsilon}\Delta (u))$ là dương. (Trước hết xét trường hợp $u\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R}^n)$, rồi dùng phép chập để xử lý trường hợp tổng quát.)

b) Phân phối $-\Delta (|u|)-\mathscr{R}(v\Delta (u))$ là dương ("bất đẳng thức của Kato").