Exercice 33, § 3

Soit $m\geqslant 1$ un entier.

a) Il existe une unique application linéaire $A^+$ (resp. $A^-$) de $H^m(\mathbf{R})$ dans $H^{m-1}(\mathbf{R})$ telle que

$A^+f(x) =f'(x)-xf(x)$ (resp. $A^-f(x) =f'(x) +xf(x)$ )

pour tout $f\in \mathscr{D}(\mathbf{R})$ et tout $x\in \mathbf{R}$.

b) L’application $A^+$ est une application de Fredholm d’indice 1 et $A^-$ est une application de Fredholm d’indice $-1$. (Considérer l’image par $A^+$ et $A^-$ des fonctions d’Hermite, cf. exercice 3 de II, p. 263.)