Bài tập 33, § 3

Cho $m\geqslant 1$ là một số nguyên.

a) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất $A^+$ (resp. $A^-$) từ $H^m(\mathbf{R})$ vào $H^{m-1}(\mathbf{R})$ sao cho

$A^+f(x) =f'(x)-xf(x)$ (resp. $A^-f(x) =f'(x) +xf(x)$ )

với mọi $f\in \mathscr{D}(\mathbf{R})$ và mọi $x\in \mathbf{R}$.

b) Ánh xạ $A^+$ là một ánh xạ Fredholm có chỉ số 1 và $A^-$ là một ánh xạ Fredholm có chỉ số $-1$. (Xét ảnh của các hàm Hermite dưới tác dụng của $A^+$ và $A^-$, cf. bài tập 3 của II, p. 263.)