Exercice 4, § 3

On note $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$.

a) Soient $\nu$ une mesure sur $\mathbf{R}$ et $a\in \mathbf{R}$ tels que $\nu (\{a\}) = 0$. Pour $x\in \mathbf{R}$, on pose

$\{\nu ([a, x])$ si $x\geqslant a$,

$\nu ([x, a])$ si $x\leqslant a$.

La fonction $f$ est continue et la distribution associée vérifie $f'=\nu$.

b) Soit $f$ une distribution sur $\mathbf{R}$ telle que $f'$ est une mesure $\nu$. La distribution $f$ est associée à la fonction continue sur $\mathbf{R}$ définie comme à la question précédente.

c) Soit $f$ une distribution sur $\mathbf{R}$ telle que $f^{(k)}$ est une mesure pour tout entier $k\geqslant 0$. Alors $f$ est la distribution associée à une fonction dans $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R})$.