Bài tập 4, § 3

Gọi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$.

a) Cho $\nu$ là một độ đo trên $\mathbf{R}$ và $a\in \mathbf{R}$ sao cho $\nu (\{a\}) = 0$. Với $x\in \mathbf{R}$, đặt

$\{\nu ([a, x])$ nếu $x\geqslant a$,

$\nu ([x, a])$ nếu $x\leqslant a$.

Hàm $f$ liên tục và phân phối liên kết thỏa mãn $f'=\nu$.

b) Cho $f$ là một phân phối trên $\mathbf{R}$ sao cho $f'$ là một độ đo $\nu$. Phân phối $f$ liên kết với hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ được xác định như trong câu hỏi trước.

c) Cho $f$ là một phân phối trên $\mathbf{R}$ sao cho $f^{(k)}$ là một độ đo với mọi số nguyên $k\geqslant 0$. Khi đó $f$ là phân phối liên kết với một hàm thuộc $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R})$.