Exercice 6, § 3

Soit A une algèbre commutative unifère sur $\mathbf{C}$ telle que les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) L’algèbre $\mathscr{C}(\mathbf{R})$ est une sous-algèbre unifère de A ;

(ii) Il existe une dérivation $d: A\rightarrow A$ dont la restriction à $\mathscr{C}^1(\mathbf{R})$ coïncide avec la dérivation usuelle des fonctions.

a) L’application identique X de $\mathbf{R}$ est inversible dans A. (Démontrer que l’application $g:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ telle que $g(0) = 0$ et $g(x) =x$(log($|x|$)$-1$) pour $x\not = 0$ est continue et vérifie $gX = 1.$)

b) On a $d\circ d(|X|) = 0$.

c) Il n’existe pas d’application bilinéaire $m:\mathscr{D}'(\mathbf{R})\times \mathscr{D}'(\mathbf{R})\rightarrow \mathscr{D}'(\mathbf{R})$ telle que $m(f, g) =f g$ pour tout couple $(f, g)\in \mathscr{D}(\mathbf{R})^2$, et telle que

pour tout $(f, g)\in \mathscr{D}'(\mathbf{R})^2$ (« impossibilité de la multiplication des distributions »).

d) Donner des exemples de suites $(f_n)$ et $(g_n)$ de fonctions test sur $\mathbf{R}$ telles que $f_n\rightarrow \varepsilon_0$ et $g_n\rightarrow \varepsilon_0$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$, et telles que $f_n^2$ et $g^2_n$ convergent dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$ vers des limites différentes.