Bài tập 6, § 3

Cho A là một đại số giao hoán có đơn vị trên $\mathbf{C}$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Đại số $\mathscr{C}(\mathbf{R})$ là một đại số con có đơn vị của A;

(ii) Tồn tại một đạo hàm $d: A\rightarrow A$ mà hạn chế của nó trên $\mathscr{C}^1(\mathbf{R})$ trùng với đạo hàm thông thường của các hàm số.

a) Ánh xạ đồng nhất X của $\mathbf{R}$ là khả nghịch trong A. (Bài tập chứng minh rằng ánh xạ $g:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ sao cho $g(0) = 0$ và $g(x) =x$(log($|x|$)$-1$) với $x\not = 0$ là liên tục và thỏa mãn $gX = 1.$)

b) Ta có $d\circ d(|X|) = 0$.

c) Không tồn tại ánh xạ song tuyến tính $m:\mathscr{D}'(\mathbf{R})\times \mathscr{D}'(\mathbf{R})\rightarrow \mathscr{D}'(\mathbf{R})$ sao cho $m(f, g) =f g$ với mọi cặp $(f, g)\in \mathscr{D}(\mathbf{R})^2$, và sao cho

với mọi $(f, g)\in \mathscr{D}'(\mathbf{R})^2$ (“tính bất khả của phép nhân các phân phối”).

d) Hãy cho ví dụ về các dãy $(f_n)$ và $(g_n)$ các hàm thử trên $\mathbf{R}$ sao cho $f_n\rightarrow \varepsilon_0$ và $g_n\rightarrow \varepsilon_0$ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$, và sao cho $f_n^2$ và $g^2_n$ hội tụ trong $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$ tới những giới hạn khác nhau.