Exercice 7, § 3

Soit $n\in \mathbf{N}$. On note $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}$ la représentation linéaire de $\mathbf{R}^n$ sur l’espace des fonctions de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ définie par

pour tout $h\in \mathbf{R}^n$ et toute fonction $f:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{C}$.

a) Pour tout $h\in \mathbf{R}^n$, l’application $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)$ définit par passage aux sous-espaces un automorphisme d’espace localement convexe de $\mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, qui est encore noté $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)$.

b) On note $\boldsymbol{\gamma }$ l’automorphisme de $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ transposé de $\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(-h)$. Si $f\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$, alors $\boldsymbol{\gamma }(h)f=\widetilde{\boldsymbol{\gamma }}(h)f$ pour tout $h\in \mathbf{R}^n$.

c) L’application $h\mapsto \boldsymbol{\gamma }(h)$ est une représentation linéaire de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$.

d) Pour tout $h\in \mathbf{R}^n$ et tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$, on a $\partial^{\alpha}\circ \boldsymbol{\gamma }(h) =\boldsymbol{\gamma }(h)\circ \partial^{\alpha}$.

e) Soit $i$ un entier tel que $1\leqslant i\leqslant n$ et $e_i$ le $i^e$ vecteur de la base canonique de $\mathbf{R}^n$. Pour toute distribution $f\in \mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$, on a

lim$_{hh\rightarrow\not=00}\frac{1}{h}(\boldsymbol{\gamma }(he_i)f-f) =\partial_if$ dans $\mathscr{D}'(\mathbf{R}^n)$ muni de la topologie faible.